高考备考网

高中数学第二次求导的意义是什么 二阶导数有哪些意义

2023-01-12 21:01

二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数,则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。

高中数学第二次求导的意义

函数在某点的一阶导数表示函数图象在该点的切线的斜率,表达了函数值在该点附近的变化快慢,相应地,对函数二次求导,相当于对原来函数的一阶导函数再进行一次求导,所得二阶导数即表示切线的斜率的变化快慢,可对比位移一次求导即速度,位移二次求导即加速度来理解。

几何意义:

1、切线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率。

2、函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。

函数凹凸性:

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,

(1)若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。

可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。