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2023全国甲卷高考理科数学试题【word精校版】

2023-06-12 11:29

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

一、选择题

1. 设集合

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,U为整数集,

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(    )

A.

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 B.

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C

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 D.

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2. 若复数

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,则

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(    )

A. -1 B. 0          · C. 1 D. 2

3. 执行下面的程序框遇,输出的

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(    )

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A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

4. 向量

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,且

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,则

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(    )

A

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 B.

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 C.

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 D.

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5. 已知正项等比数列

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中,

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前n项和,

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,则

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(    )

A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

6. 有60人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为(    )

A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

7. “

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”是“

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”的(    )

A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件

C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

8. 已知双曲线

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的离心率为

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,其中一条渐近线与圆

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交于A,B两点,则

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(    )

A.

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 B.

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 C.

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 D.

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9. 有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务

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选择种数为(    )

A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

10. 已知

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为函数

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向左平移

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个单位所得函数,则

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的交点个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 在四棱锥

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中,底面

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为正方形,

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,则

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的面积为(    )

A.

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 B.

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 C.

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 D.

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12. 己知椭圆

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两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,

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,则

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(    )

A.

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 B.

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 C.

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 D.

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二、填空题

13. 若

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为偶函数,则

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________.

14. 设x,y满足约束条件

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,设

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,则z的最大值为____________.

15. 在正方体

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中,E,F分别为CD,

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的中点,则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________.

16. 在

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中,

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,D为BC上一点,AD为

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的平分线,则

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_________.

三、解答题

17. 已知数列

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中,

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,设

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前n项和,

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(1)求

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的通项公式;

(2)求数列

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的前n项和

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18. 在三棱柱

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中,

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底面ABC,

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到平面

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的距离为1.

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(1)求证:

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(2)若直线

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距离为2,求

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与平面

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所成角的正弦值.

19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为

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,求

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的分布列和数学期望;

(2)测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)

对照组:17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4

26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3

实验组:5.4   6.6   6.8    6.9  7.8   8.2   9.4  10.0  10.4  11.2

14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0

(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:

 

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对照组

 

 

实验组

 

 

(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据:

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0.10

0.05

0.010

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2.706

3.841

6.635

 

20. 已知直线

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与抛物线

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交于

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两点,且

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(1)求

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(2)设C的焦点为F,M,N为C上两点,

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,求

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面积的最小值.

21. 已知

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(1)若

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,讨论

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的单调性;

(2)若

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恒成立,求a的取值范围.

四、选做题

22. 已知

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,直线

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(t为参数),

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倾斜角,l与x轴,y轴正半轴交于A,B两点,

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(1)求

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的值;

(2)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l的极坐标方程.

23. 已知

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(1)求不等式

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的解集;

(2)若曲线

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轴所围成的图形的面积为2,求

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