2018甘肃高考理科数学试题及答案解析【Word真题试卷】

2023-01-07 18:30

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绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题***。

2．作答时，将答案写在答题***。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A．

B．

C．

D．

2．已知集合

，则

中元素的个数为

A．9B．8C．5D．4

3．函数

的图像大致为

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4．已知向量

，

满足

，

，则

A．4B．3C．2D．0

5．双曲线

的离心率为

，则其渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

6．在

中，

，

，

，则

A．

B．

C．

D．

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7．为计算

，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A．

B．

C．

D．

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如

．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．

B．

C．

D．

9．在长方体

中，

，

，则异面直线

与

所成角的余弦值为

A．

B．

C．

D．

10．若

在

是减函数，则

的最大值是

A．

B．

C．

D．

11．已知

是定义域为

的奇函数，满足

．若

，则

A．

B．0C．2D．50

12．已知

，

是椭圆

的左，右焦点，

是

的左顶点，点

在过

且斜率

为

的直线上，

为等腰三角形，

，则

的离心率为

A．

B．

C．

D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线

在点

处的切线方程为__________．

14．若

满足约束条件

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则

的最大值为__________．

15．已知

，

，则

__________．

16．已知圆锥的顶点为

，母线

，

所成角的余弦值为

，

与圆锥底面所成角为45°，若

的面积为

，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记

为等差数列

的前

项和，已知

，

．

（1）求

的通项公式；

（2）求

，并求

的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额

（单位：亿元）的折线图．

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为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了

与时间变量

的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量

的值依次为

）建立模型①：

；根据2010年至2016年的数据（时间变量

的值依次为

）建立模型②：

．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线

的焦点为

，过

且斜率为

的直线

与

交于

，

两点，

．

（1）求

的方程；

（2）求过点

，

且与

的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥

中，

，

，

为

的中点．

（1）证明：

平面

；

（2）若点

在棱

上，且二面角

为

，求

与平面

所成角的正弦值．

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21．（12分）

已知函数

．

（1）若

，证明：当

时，

；

（2）若

在

只有一个零点，求

．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

（

为参数），直线

的参数方程为

（

为参数）．

（1）求

和

的直角坐标方程；

（2）若曲线

截直线

所得线段的中点坐标为

，求

的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数

．

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

，求

的取值范围．

参***:

一、选择题

1.D2.A3.B4.B5.A6.A

7.B8.C9.C10.A11.C12.D

二、填空题

13.

14.915.

16.

三、解答题

17. (12分)

解：（1）设

的公差为d，由题意得

.

由

得d=2.

所以

的通项公式为

.

（2）由（1）得

.

所以当n=4时,

取得最小值,最小值为−16.

18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(12分)

解：（1）由题意得

，l的方程为

.

设

，

由

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得

.

，故

.

所以

.

由题设知

，解得

（舍去），

.

因此l的方程为

.

（2）由（1）得AB的中点坐标为

，所以AB的垂直平分线方程为

，即

.

设所求圆的圆心坐标为

，则

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解得

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或

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因此所求圆的方程为

或

.

20.(12分)

解：（1）因为

，

为

的中点，所以

，且

.

连结

.因为

，所以

为等腰直角三角形，

且

，

.

由

知

.

由

知

平面

.

（2）如图，以

为坐标原点，

的方向为

轴正方向，建立空间直角坐标系

.

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由已知得

取平面

的法向量

.

设

，则

.

设平面

的法向量为

.

由

得

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，可取

，

所以

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.由已知得

.

所以

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.解得

（舍去），

.

所以

.又

，所以

.

所以

与平面

所成角的正弦值为

.

21．（12分）

【解析】（1）当

时，

等价于

．

设函数

，则

．

当

时，

，所以

在

单调递减．

而

，故当

时，

，即

．

（2）设函数

．

在

只有一个零点当且仅当

在

只有一个零点．

（i）当

时，

，

没有零点；

（ii）当

时，

．

当

时，

；当

时，

．

所以

在

单调递减，在

单调递增．

故

是

在

的最小值．

①若

，即

，

在

没有零点；

②若

，即

，

在

只有一个零点；

③若

，即

，由于

，所以

在

有一个零点，

由（1）知，当

时，

，所以

．

故

在

有一个零点，因此

在

有两个零点．

综上，

在

只有一个零点时，

．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线

的直角坐标方程为

．

当

时，

的直角坐标方程为

，

当

时，

的直角坐标方程为

．

（2）将

的参数方程代入

的直角坐标方程，整理得关于

的方程

．①

因为曲线

截直线

所得线段的中点

在

内，所以①有两个解，设为

，

，则

．

又由①得

，故

，于是直线

的斜率

．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当

时，

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可得

的解集为

．

（2）

等价于

．

而

，且当

时等号成立．故

等价于

．

由

可得

或

，所以

的取值范围是

．

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