在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（BinomialDistribution）。

二项分布的期望和方差

因为x服从二项分布b(n,p)，所以：

期望：E(x) = np

方差：Var(x) = npq

推导：

期望：

期望值是所有可能结果乘以其概率之和。对于二项分布，有n次独立试验，每个试验的成功概率为p。因此，成功k次的概率为：

P(X = k) = (n choose k) · p^k · q^(n-k)

其中q = 1 - p。

期望值是所有可能成功次数的概率乘以其成功次数之和：

E(x) = Σk · P(X = k)

= Σk · (n choose k) · p^k · q^(n-k)

使用二项式定理，可以将其展开为：

E(x) = (p + q)^n · n

= p^n · n + n · p^(n-1) · q + ... + q^n · n

= np · (p^(n-1) + p^(n-2) · q + ... + q^(n-1))

= np

方差：

方差是期望值平方与方差平方之差。对于二项分布，方差为：

Var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2

首先计算E(x^2)：

E(x^2) = Σk^2 · P(X = k)

= Σk^2 · (n choose k) · p^k · q^(n-k)

E(x^2) = (p + q)^n · n(n-1)

= p^n · n(n-1) + n(n-1) · p^(n-1) · q + ... + q^n · n(n-1)

= np(np + q) · (p^(n-1) + p^(n-2) · q + ... + q^(n-1))

= np(np + q) · 1

= np(np + q)

因此，方差为：

= np(np + q) - (np)^2

= npq

结论：

二项分布的期望等于试验次数n乘以成功概率p，方差等于试验次数n乘以成功概率p和失败概率q的乘积。

二项分布的特征函数

‌‌二项分布的特征函数是A.正确。‌‌

二项分布的特征函数是描述二项分布随机变量特性的重要数学工具。在‌概率论和‌统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。二项分布的特征函数可以用来描述这种分布的数学期望和‌方差等统计特性。

具体来说，二项分布的特征函数可以帮助我们理解和分析在n次独立重复试验中，事件A发生的次数的概率分布情况。二项分布的特征函数推导过程涉及到概率论和统计学中的一些基本概念和公式，通过这些推导，我们可以更好地理解和应用二项分布在实际问题中。